Существует ли такое число x, при котором значение выражений (tg x + √3) и (ctg x + √3) являются целыми числами?

Выражение tgx+√3 будет целым, если tgx=N-√3;  

в этом случае ctgx=1/(N-√3)=(N+√3)/(N²-3). Добавим √3: (N+√3*(N²-2))/(N²-3). Чтобы быть целым необходимо N²-2=0. Но N - целое. Противоречие.. . и т. п.