Найдите х корень из 3 sin(x) + cos(x) = 2

task/29465133

√3sinx + cosx = 2

* * * методом вс угла:  asinx + bcosx=√(a²+b²)sin(x+φ) , где

φ= arctg(b/a)     ||  a =√3 ; b =1  ; √(a²+b²)= 2 ;  φ= arctg(1/√3)=π/6  ||   * * *

но уравнение проще √3sinx + cosx = 2 ⇔ √3)/2 *sinx +(1/2)* cosx  =1  ⇔

sinx*cos(π/6) +cosx*sin(π/6)  =1 ⇔ sin(x +π/6) =1 ⇔x+π/6=π/2+2πn , n∈ ℤ .⇔

ответ :   x =π/3+2πn , n∈ ℤ.

как не надо решать   ( однородное уравнение)

* * *  sin²α+cos²α=1 ; sin2α=2sinαcosα ; cos2α= cos²α - sin²α ;  x =2*(x/2) * * *

√3sinx +cosx=2⇔2√3sin(x/2)cos(x/2)+cos²(x/2)-sin²(x/2)=2cos²(x/2)+2sin²(x/2)

⇔ 3sin²(x/2) -2√3sin(x/2)cos(x/2 +cos²(x/2) =0   || : cos²(x/2) ≠ 0

3tg²(x/2) - 2√3tg(x/2) +1 =0  кв. уравнение относительно tg(x/2)  = t

D₁ =(√3)²-3*1=0  кратный корень

tg(x/2) = (√3)/3    * * * x /2 =arctg[(√3)/3] +πn , n ∈ ℤ  * * *

tgx =tg[2*(x/2) ] = 2tg(x/2) / [ 1 - tg²(x/2) ] = √3 .

x = π / 3+ πn ,  n ∈  ℤ.    откуда  появился второй  корень