logo
Войти Регистрация Спроси ai-bota
В
Все
У
Українська література
Г
Геометрия
Д
Другие предметы
Э
Экономика
Г
География
О
ОБЖ
М
Математика
М
МХК
Х
Химия
Қ
Қазақ тiлi
Л
Литература
У
Українська мова
О
Обществознание
Ф
Физика
А
Английский язык
А
Алгебра
И
История
Б
Беларуская мова
Б
Биология
М
Музыка
П
Право
И
Информатика
П
Психология
В
Видео-ответы
Н
Немецкий язык
Ф
Французский язык
О
Окружающий мир
Р
Русский язык
leo00000
leo00000
18.07.2022 10:11 •  Алгебра

Решите уравнение: sin³x + cos³x = 1

Ответ:
tasinas
tasinas
08.10.2020 21:55
Разложим в левой части уравнения по формуле суммы кубов

\tt (\sin x+\cos x)(\sin^2x-\sin x\cos x+\cos^2x)=1\\ (\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x)=1

Пусть \tt \sin x+\cos x=t и при этом \tt |t|\leq \sqrt{2}, тогда, возведя в квадрат левую и правую части равенства \tt 1+2\sin x\cos x=t^2~~~\Rightarrow~~~\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}

\tt t\cdot\left(1-\frac{t^2-1}{2} \right)=1~|\cdot 2\\ \\ 2t-t^3+t=2\\ 2t-2-t^3+t=0\\ 2(t-1)-t(t-1)(t+1)=0\\ (t-1)(2-t^2-t)=0

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю

\tt t-1=0~~~\Rightarrow~~ t_1=1\\ \\ \tt 2-t^2-t=0\\ t^2+t-2=0

По т. Виета: \tt t_1=1

\tt t_2=-2 - не удовлетворяет условию при |t|≤√2

Обратная замена:

\tt \sin x+\cos x=1\\ \sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4} )=1\\ \sin(x+\frac{\pi}{4} )=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ x+\frac{\pi}{4} =(-1)^k\cdot \frac{\pi}{4} +\pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\\boxed{\tt x=(-1)^k\cdot\frac{\pi}{4} -\frac{\pi}{4} +\pi k,k \in \mathbb{Z}}
0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Алгебра
matveq888
matveq888
09.02.2021 19:45
С: [tex] {3}^{x - 1} - {3}^{x} + 6 = 0[/tex]это неравенство. выражение не равно нулю. ​...
Ларкия
Ларкия
02.09.2021 11:25
Луч h биссектриса угла ab луч к биссектриса угла ah. найдите угол вк если ав=60...
DeadAsted
DeadAsted
19.10.2020 11:17
ПОМГИТЕ С АЛГЕБРОЙ!!1!1!1SOSOSOSOS​...
djhvh235
djhvh235
19.10.2020 11:17
ВАРИАНТ 2 1. Функция задана формулой у = 4х – 3. Определите: а) значение у, если х = –1,5; б) значение х, при котором у = –6; в) проходит ли график функции через точку В (7; 25)....
khludenev99
khludenev99
04.02.2023 18:56
19х-11у-24=0 если х=3 3х+2у+30=0 если х = -8...
seregamani
seregamani
11.07.2021 19:31
Сократите дробь 4x^2 - y^2 /(10x-5y)^2...
nastya2729
nastya2729
12.03.2021 06:54
112 платьев одна швея шьет на 2 дня дольше, чем вторая. сколько платьев за день сошьет первая швея, если известно, что вторая за день шьет на одно платье больше, чем первая?...
Elfsp1r1t
Elfsp1r1t
24.09.2022 21:43
Построить график функции y=10/x. найти по графику а)x если y=3 б) y если x=-8...
0Karamelka0
0Karamelka0
27.11.2022 10:54
Забыл можно сокращать числитель первой дроби с знаменателем 2 дроби...
Арте2281337
Арте2281337
20.01.2020 09:57
Лифт перевозит до 8 человек. х- количество человек в кабине лифта. запиши условие неравенством....
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
О НАС
СООБЩЕСТВО
ПОМОЩЬ
App
.
.
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?