Как вычислить сумму 1*(1+1)+2*(2+1)+3*(3+1)++n*(n+1)

Перемножим скобки и сгруппируем слагаемые так, чтобы получить арифметическую или что-нибудь еще



Последовательность  представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом  и разностью , а последовательность  имеет равенство(по формуле суммы квадратов n первых квадратов натуральных чисел)


(Эта формула доказывается методом математической индукции).

Окончательно имеем, что