Вшахматном кружке одинаковые успехи у 12 юношей. сколькими руководитель кружка может выбрать из их числа 10 юношей для участия в турнире?

Плюсом четыре дополнительных
1) По росту
2) По возрасту
3) По цвету волос
4) По номеру учебного заведения

Для решения данной задачи мы можем использовать комбинаторику и формулу сочетания.

У нас есть 12 юношей, и из них мы должны выбрать 10 для участия в турнире. При этом они имеют одинаковые успехи, поэтому порядок выбора не имеет значения. Если бы успехи были различными, то порядок выбора важен был бы для определения команды.

Формула сочетания (известная как биномиальный коэффициент) позволяет нам найти количество способов выбрать определенное количество объектов из заданного набора.

Формула сочетания записывается следующим образом: C(n, k), где n - общее количество объектов, а k - количество объектов, которые мы хотим выбрать из набора.

В нашем случае, n = 12 (всего 12 юношей) и k = 10 (мы хотим выбрать 10 юношей). Подставив значения в формулу сочетания, получаем:
C(12, 10) = 12! / (10! * (12-10)!)

Теперь проведем вычисления:
12! = 12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 479,001,600
10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3,628,800
(12-10)! = 2! = 2 * 1 = 2

Подставляем значения обратно в формулу сочетания:
C(12, 10) = 479,001,600 / (3,628,800 * 2)
C(12, 10) = 479,001,600 / 7,257,600
C(12, 10) = 66

Итак, руководитель кружка может выбрать 10 юношей из 12 для участия в турнире всего 66 различными способами.

Ответ: Руководитель кружка может выбрать из 12 юношей 10 для участия в турнире всего 66 различными способами.