Объем прямоугольного параллелепипеда равен 4 основанием служит квадрат найдите параллелепипед с наименьшим периметром боковой грани и вычислите этот периметр
Основание - квадрат axa. Площадь равна a^2. Высота h. Объем V = a^2*h = 4 h = 4/a^2 Боковые грани все одинаковые, прямоугольники axh. Их периметр P = 2(a + h) - должен быть минимальным. Подставляем h из равенства P = 2(a + 4/a^2) = 2(a^3 + 4)/a^2 Минимум функции будет в точке, где производная равна 0. P ' = 2*(3a^2*a^2 - 2a*(a^3 + 4))/a^4 = 2*(3a^3 - 2a^3 - 8)/a^3 = 0 a^3 - 8 = 0 a^3 = 8 a = 2 - сторона квадрата в основании параллелепипеда h = 4/a^2 = 4/4 = 1 - высота параллелепипеда P = 2(a + h) = 2(2 + 1) = 2*3 = 6
Объем V = a^2*h = 4
h = 4/a^2
Боковые грани все одинаковые, прямоугольники axh. Их периметр
P = 2(a + h) - должен быть минимальным. Подставляем h из равенства
P = 2(a + 4/a^2) = 2(a^3 + 4)/a^2
Минимум функции будет в точке, где производная равна 0.
P ' = 2*(3a^2*a^2 - 2a*(a^3 + 4))/a^4 = 2*(3a^3 - 2a^3 - 8)/a^3 = 0
a^3 - 8 = 0
a^3 = 8
a = 2 - сторона квадрата в основании параллелепипеда
h = 4/a^2 = 4/4 = 1 - высота параллелепипеда
P = 2(a + h) = 2(2 + 1) = 2*3 = 6