Из точек M₁ и Р₁ отрезок МР виден под прямым углом, следовательно, точки М, P, M₁ и Р₁ лежат на одной окружности с диаметром МР, то есть, около четырехугольника MP₁M₁P можно описать окружность (так как диагонали четырехугольника пересекаются и он является выпуклым, и ∠MP₁P=∠MM₁P=90°)
∠MM₁P₁ = ∠MPP₁ как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.
Из точек M₁ и Р₁ отрезок МР виден под прямым углом, следовательно, точки М, P, M₁ и Р₁ лежат на одной окружности с диаметром МР, то есть, около четырехугольника MP₁M₁P можно описать окружность (так как диагонали четырехугольника пересекаются и он является выпуклым, и ∠MP₁P=∠MM₁P=90°)
∠MM₁P₁ = ∠MPP₁ как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.
Что и требовалось доказать.