6sin2(x/2 -π/6)+0.5 sin (x-π/3)=2+cos2(π/6-x/2)

Task/26393578

6sin2(x/2 -π/6)+0.5 sin 2(x/2-π/6)=2+cos2(x/2 -π/6) ; 
6.5sin2(x/2 -π/6) =2+cos2(x/2 -π/6) ;  пусть  α =x/2 -π/6
6,5sin2α  = 2+cos2α; 
13sinα*cosα =2+2cos²α -1  ;
13sinα*cosα =1+2cos²α ;
13sinα*cosα=sin²α +cos²α +2cos²α   ;
sin²α - 13sinα*cosα+3cos²α ;
tg²α - 13tgα  +3 = 0   квадратное уравнение относительно  tgα
tgα =(13±√157)/2 ;
α = arctg( (13±√157)/2 )+πn , n∈Z;
x/2 -π/6= arctg( (13±√157)/2 )+πn , n∈Z ;
x/2 =π/6+ arctg( (13±√157)/2 )+πn , n∈Z ;
x =π/3+ 2arctg( (13±√157)/2 )+2πn , n∈Z.

ответ:  π/3 + 2arctg( (13±√157)/2 )+2πn, n∈Z ;

ИЛИ
6sin2(x/2 -π/6)+0.5 sin (x-π/3)=2+cos2(π/6-x/2) ;
6sin(x -π/3)+0.5 sin (x-π/3)=2+cos(π/3-x) ;
6,5sin(x -π/3) =2 +cos(x -π/3) ; * * *cosπ/3 -x)=cos(-(x -π/3) ) =cos(x -π/3)***
2cos(x -π/3)  - 13sin(x -π/3) = - 4 ;
* * * применяем метод вс угла: a*cost - b*sint =
=√(a²+b²) (a/√(a²+b²) *cost - b/√(a²+b²)*sint =√(a²+b²) (cosφ*cost-sinφ*sint)=
√(a²+b²)cos(t +φ) , где φ=arctgb/a  * * *
---  здесь   a=2 , b = 13  φ =arctg13/2    ---
√(173 cos(x -π/3+φ)  = - 4 ;   
cos(x -π/3+φ) = - 4/√173 ;
x -π/3+φ = ±arccos(- 4/√173) +2πn , n ∈ Z ;
x = π/3 - φ ± (π- arccos(4/√173) ) +2πn , n ∈ Z . 

ответ: x = π/3 - φ ± (π- arccos(4/√173) ) +2πn , n ∈ Z .