Найти наименьшее значение функции y= (5x^2-3x+1)^(1/2) + (5x^2+3x+1)^(1/2)

task/24978193

Найти наименьшее значение функции
y= √(5x²-3x+1) + √(5x²+3x+1) .

D(y)= (-∞; ∞)  || 5x²-3x+1=5(x -3/10)²+11/20 ;5x²+3x+1=5(x +3/10)² +11/20 ||  * * * 5x²±3x+1=5(x±3/10)² +11/20 * * *
Функция y принимает исключительно положительные значение , поэтому минимальное значение принимает, если минимальное значение принимает y² .
y²= 5x²-3x+1 + 2√(5x²+1-3x)*√ (5x²+1+3x) +5x²+3x+1 =
2+10x²+2√( (5x²+1)² -(3x)² ) = 2+10x²+2√( 25x⁴+x² +1) .
min (y²) =4 ,если  x =0.

min (y) =2.

По неравенству Коши
        

Равенство достигается только при х=0. При х=0 выражение  принимает наименьшее значение , равное 1. Тогда наименьшее значение функции равно 2.

ответ 2.