Войти Регистрация Спроси ai-bota

Докажите неравенство коши для n=5. иными словами, докажите, что естественно, предполагается неотрицательность всех переменных.

Ответ:

katmik04

06.10.2020 14:54

Выпишем неравенство Бернулли, которое будем использовать в доказательстве: $(1+a)^n \geq 1+na,\,\,\,\,\, a\ \textgreater \ -1$
Нужно доказать, что $A_5 \geq G_5$ .
Пусть n>1. Рассмотрим дробь $\dfrac{A_n}{A_{n-1}}0$ , причем $a_{i}\ \textgreater \ 0,\,\,\,\, i=\overline{1,n}$
$\bigg( \dfrac{A_n}{A_{n-1} }\bigg)^n =\bigg(1+ \dfrac{A_n}{A_{n-1}}-1 \bigg)^n \geq 1+n\cdot\bigg(\dfrac{A_n}{A_{n-1}}-1\bigg)=\\ \\ \\ = \dfrac{A_{n-1}+nA_n-nA_{n-1}}{A_{n-1}} = \\ \\ \\ =\dfrac{nA_n-(n-1)A_{n-1}}{A_{n-1}}= \dfrac{a_1+...+a_n-a_1-...-a_{n-1}}{A_{n-1}} = \dfrac{a_n}{A_{n-1}}$
Доказали, что $\bigg( \dfrac{A_n}{A_{n-1}} \bigg)^n \geq \dfrac{a_n}{A_{n-1}}$ откуда $A^n_n \geq a_n\cdot A^{n-1}_{n-1}$ - вс неравенство.

$A^n_n \geq a_nA^{n-1}_{n-1} \geq a_{n}a_{n-1}A^{n-2}_{n-2} \geq .... \geq a_na_{n-1}...a_1=G^n_n$

Откуда
$A_n \geq G_n$

для n=5 можно считать что доказано $A_5 \geq G_5$ или $\dfrac{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5}{5} \geq \sqrt[5]{a_1a_2a_3a_4a_5}$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

arsenijakula

15.05.2020 06:57

1) 1,2-2,6х-5 3,2х-3 2) х(2-х) (3-х)(3+х) решить...

zhigalkinden

15.05.2020 06:57

Постройте график функции у=2х-1 и укажите координаты точек его пересечения с осями координат...

ЕваЛя

04.08.2022 17:13

Как закончить: 11 целых три шестнадцатых + три целых четырнадцать шестнадцатых ровно : 14 целых семнадцать шестнадцатых...

llopatniseva

04.08.2022 17:13

Решить уравнение 2корень из х-3 = х-6...

ниро4

04.08.2022 17:13

Решить систему уравнений х+2у=11 ; -2х+3у= 13...

jonbraims

04.08.2022 17:13

Можно ли сократить дробь: числитель: 3 - корень 13 все по модулю знаменатель: 3 - корень 13...

ketivolkowa

04.08.2022 17:13

Найдите корни квадратного трехчлена 5x² + 8x - 13 решение не нужно. только ответ. ответ: a. -1 и 2,6 b. 1 и -2,6 c. 2 и -5,2 d. нет корней...

irna200

04.08.2022 17:13

Пол комнаты,имеющие форму прямоугольника со сторонами 9 м и 10 м,требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 10 см и 20 см.сколько потребуется...

МистрКрутой11

04.08.2022 17:13

Двум рабочим было поручено изготовить партию одинаковых деталей. когда первый проработал 2 ч, а второй 5 ч, оказалось, что они выполнили половину всей работы. после...

7Селестина

21.02.2021 08:44

Докажите тождество: 6x^2+19x-7=(3x-1)(2x+7)...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку