Определите аналитически пересекается ли график функции у=||x-1|-1| с прямой у=1

Чтобы аналитически определить, пересекаются ли графики функции, нужно приравнять функции. Если уравнение будет иметь корни, то графики функций имеют общие точки:
||x - 1| - 1| = 1
Раскроем внешний модуль:
1) Со знаком "+".
 |x - 1| - 1 = 1
|x - 1| = 2
x - 1 = 2 and x - 1 = -2
x = 3 and x = -1

2) Со знаком "-".
|x - 1| - 1 = -1 
|x - 1| = 0
x - 1 = 0
x = 1
В итоге мы получили 3 корня ⇒ графики функций пересекаются в 3 различных точках.
ответ: пересекаются.

Приравниваем по y:
||x-1|-1|=1
раскрываем 1 модуль:
1) |x-1|-1=1, где |x-1|-1>=0
|x-1|=2
раскрываем еще 1 модуль:
1.1) x-1=2, где x-1>=0
x=3
проверяем:
3-1>=0
2-1>=0
верно, x=3 - корень уравнения
1.2) x-1=-2, где x-1<=0
x=-1
проверяем:
-1-1<=0
|-1-1|-1>=0
верно, значит x=-1 - корень уравнения
2) |x-1|-1=-1, где |x-1|-1<=0
|x-1|=0
x-1=0
x=1
проверяем:
|1-1|-1<=0 - верно
x=1 - корень уравнения
в итоге получаем три корня:
x=1; x=-1; x=3
значит прямая y=1 пересекает данный график в 3 точках
ответ: пересекается