Алгебра: 81^(cosx)-12*9^(cosx)+27=0 найти корни в промежутке [-4π; 3π/2]

81^(cosx)-12*9^(cosx)+27=0 найти корни в промежутке [-4π; 3π/2]

Ответ:

sir125

06.10.2020 12:54

$81^{\cos x}-12\cdot 9^{\cos x}+27=0\\ (9^2)^{\cos x}-12\cdot 9^{\cos x}+27=0\\ \\ 9^{2\cos x}-12\cdot 9^{\cos x}+27=0$

Пусть $9^{\cos x}=t$ и при этом t>0. В результате замены переменной получим квадратное уравнение относительно t

$t^2-12t+27=0\\ (t-6)^2-9=0\\ (t-6-3)(t-6+3)=0\\ (t-9)(t-3)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
$t-9=0;~~~\Rightarrow~~~ t_1=9\\ t-3=0;~~~\Rightarrow~~~ t_2=3$

Возвращаемся к обратной замене.

$9^{\cos x}=9\\ \cos x=1~~~\Rightarrow~~~~ x_1=2 \pi n,n \in \mathbb{Z}\\ \\ 9^{\cos x}=3\\ \\ 2\cos x=1~~~\Rightarrow~~~~ x_2=\pm \frac{\pi}{3}+2 \pi n,n \in \mathbb{Z}$

Отбор корней из промежутка [-4π; 3π/2].

Для корня $x=2 \pi n,n \in \mathbb{Z}$
$n=0;~~ x=2\pi\cdot 0=0\\ n=-1;~ x=2\pi \cdot(-1)=-2\pi\\ n=-2;~~ x=2\pi \cdot(-2)=-4\pi$

Для корня $x=\frac{\pi}{3}+2 \pi n,n \in \mathbb{Z}$
$n=0;~~ x=\frac{\pi}{3}+2\pi\cdot 0=\frac{\pi}{3}+0=\frac{\pi}{3}\\ n=-1;~~ x=\frac{\pi}{3}+2\pi \cdot(- 1)=\frac{\pi}{3}-2\pi=\frac{\pi-6 \pi }{3}=-\frac{5\pi}{3}\\ n=-2;~~x=\frac{\pi}{3}+2\pi \cdot(-2)=\frac{\pi}{3}-4\pi=\frac{\pi-12\pi }{3}=- \frac{11 \pi }{3}$

Для корня $x=-\frac{\pi}{3}+2 \pi n,n \in \mathbb{Z}$
$n=0;~~ x=-\frac{\pi}{3}+2\pi\cdot 0=-\frac{\pi}{3}+0=-\frac{\pi}{3}\\ n=-1;~~ x=-\frac{\pi}{3}+2\pi \cdot(- 1)=-\frac{\pi}{3}-2\pi=\frac{-\pi-6 \pi }{3}=-\frac{7\pi}{3}$