Докажите, что 2*2^2+3*2^3++n*2^n=(n-1)*2^n+1

Естественно, доказывается это методом математической индукции:
1) При n = 2:

Равенство верно, переходим к следующему шагу:
2) Пусть при n = k равенство верно:

3) Шаг индукции: докажем, что и при n = k + 1 равенство тоже верно:

Мы пришли к равенству в пункте (2), которое предполагало, что при n = k равенство верно. Значит, для любых n ∈ N равенство также верно.