Остаток при делении натурального числа m на 11 равен 9, а остаток при делении натурального числа n на 11 равен 5. докажите, что остаток при делении произведения чисел m и n на 11 равен 1.

По условию:
m = 11*q+9,
n = 11*p+5,
где p и q - тоже целые, как и m и n. Тогда
m*n = (11q+9)*(11p+5) = 11q*(11p+5) + 9*(11p+5) = 11q*(11p+5) + 9*11p + +9*5= 11*( 11pq+5q+9p)+ 45 = 11*(11pq+5q+9p)+4*11+1 =
= 11*(11pq+5q+9p+4) +1,
если p и q - целые, тогда и выражение в скобках (11pq+5q+9p+4)=T тоже целое, то есть m*n = 11*T+1, где T - целое, а это и значит, что остаток от деления (m*n) на 11 будет единица.