40 ! в разложении функции f(x)=(1+x-x^2)^{20} - вопрос №6370002401220 от Ахмрев 13.02.2020 23:29

Question

Алгебра: 40 ! в разложении функции f(x)=(1+x-x^2)^{20} по степеням x найдите коэффициент при x^{3n}, где n равно сумме всех коэффициентов разложения.

Ахмрев · Answer

F(x)=a+bx+cx²+...+dx⁴⁰. Cумма коэффициентов равна
а+b+c+...+d=f(1)=(1+1-1²)²⁰=1. Значит, надо найти коэффициент при х³. По биному Ньютона $f(x)=(x^2-(1+x))^{20}=\sum\limits_{k=0}^{20}(-1)^kC_{20}^kx^{2k}(1+x)^{20-k}.$ Понятно, что слагаемые с х³ будут только при k=0 и 1, т.е. надо посчитать коэффииент при х³ в выражении $(1+x)^{20}-20x^2(1+x)^{19}.$ Он равен $C_{20}^3-20C_{19}^1=20\cdot19\cdot 18/6-20\cdot 19=760.$ ответ: 760.