Существуют ли целые числа a,b,c, удовлетворяющие равенству: (a+b)(b+3c)(c+5a)=2015

Не существуют, Иначе, т.к. 2015 - нечетное число, то каждый множитель в скобках тоже должен быть нечетным числом. Значит их сумма (как сумма трех нечетных чисел) должна быть нечетной. Но с другой стороны:
(a+b)+(b+3c)+(c+5a)=6а+2b+4c=2(3a+b+2c) - четное. Противоречие.