Для нахождения данной суммы возьмём функцию y=x² и разложим её в ряд Фурье на промежутке [-π;π]. Это разложение имеет вид: x²=π²/3+∑(-1)ⁿ*4*cos(n*x)/n². Если теперь положить в этом равенстве x=π, то получится равенство π²=π²/3+4*∑(-1)ⁿ*cos(π*n)/n². Но так как cos(π*n)=(-1)ⁿ, то (-1)ⁿ*(-1)ⁿ=((-1)ⁿ)²=1, и равенство приобретает вид π²=π²/3+4*∑1/n². Отсюда 4*∑1/n²=2*π²/3 и ∑1/n²=2*π²/12=π²/6. ответ: ∑1/n²=π²/6.
x²=π²/3+∑(-1)ⁿ*4*cos(n*x)/n². Если теперь положить в этом равенстве x=π, то получится равенство π²=π²/3+4*∑(-1)ⁿ*cos(π*n)/n². Но так как cos(π*n)=(-1)ⁿ, то (-1)ⁿ*(-1)ⁿ=((-1)ⁿ)²=1, и равенство приобретает вид
π²=π²/3+4*∑1/n². Отсюда 4*∑1/n²=2*π²/3 и ∑1/n²=2*π²/12=π²/6.
ответ: ∑1/n²=π²/6.