Представим 4, как 4 * 1 = 4(sin² x + cos²x), затем подставим, раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
8sin²x + sinx cos x + cos²x - 4(sin² x + cos²x) = 0 8sin²x + sinx cos x + cos²x - 4sin²x - 4cos²x = 0 4sin²x + sin x cos x - 3cos²x = 0 Данное уравнение является однородным уравнением второй степени. Для его решения разделим всё уравнение на cos²x. действительно, мы можем разделить на него, поскольку если бы cos²x был бы равен 0, то при подставновке его в уравнение получили бы: 4sin²x + 0 - 0 = 0 sin²x = 0 - но и синус и косинус не могут быть одновременно равны нулю по основному тригонометрическому тождеству. Получили противоречие, значит, мы имеем право разделить на это выражение. Получаем:
4tg²x + tg x - 3 = 0 Теперь пусть tg x = t, тогда
4t² + t - 3 = 0 D = 1 + 48 = 49 t1 = (-1 - 7) / 8 = -8/8 = -1 t2 = (-1+7) / 8 = 6/8 = 3/4 Приходим к совокупности уравнений: tg x = -1 или tg x = 3/4 x = -π/4 + πn, n∈Z x = arctg 3/4 + πk, k∈Z ответ: -π/4 + πn, n∈Z ; arctg 3/4 + πk, k∈Z
8sin²x + sinx cos x + cos²x - 4(sin² x + cos²x) = 0
8sin²x + sinx cos x + cos²x - 4sin²x - 4cos²x = 0
4sin²x + sin x cos x - 3cos²x = 0
Данное уравнение является однородным уравнением второй степени. Для его решения разделим всё уравнение на cos²x. действительно, мы можем разделить на него, поскольку если бы cos²x был бы равен 0, то при подставновке его в уравнение получили бы:
4sin²x + 0 - 0 = 0
sin²x = 0 - но и синус и косинус не могут быть одновременно равны нулю по основному тригонометрическому тождеству. Получили противоречие, значит, мы имеем право разделить на это выражение. Получаем:
4tg²x + tg x - 3 = 0
Теперь пусть tg x = t, тогда
4t² + t - 3 = 0
D = 1 + 48 = 49
t1 = (-1 - 7) / 8 = -8/8 = -1
t2 = (-1+7) / 8 = 6/8 = 3/4
Приходим к совокупности уравнений:
tg x = -1 или tg x = 3/4
x = -π/4 + πn, n∈Z x = arctg 3/4 + πk, k∈Z
ответ: -π/4 + πn, n∈Z ; arctg 3/4 + πk, k∈Z