Уравнение 4 степени вида A*x⁴+B*x³+C*x²+B*x+A=0 называется возвратным. Данное уравнение как раз такое. Так как значение x=0 не является его решением, то уравнение можно разделить на z², и получится равносильное уравнение 9*z²-24*z-2-24/z+9/z²= 9*(z²+1/z²)-24*(z+1/z)-2=0. Положим y=z+1/z, тогда y²=z²+2+1/z², откуда z²+1/z²=y²-2. Тогда уравнение примет вид 9*(y²-2)-24*y-2=9*y²-24*y-20=0. Дискриминант D=(-24)²-4*9*(-20)=1296=36².Тогда y1=(24+36)/18=10/3, y2=(24-36)/18=-2/3. Таким образом, для нахождения z нужно решить 2 уравнения:
z+1/z=10/3 z+1/z=-2/3
Решаем первое уравнение. Умножив его на 3*z, получаем уравнение 3*z²+3=10*z, или 3*z²-10*z+3=0. Дискриминант D=(-10)²-4*3*3=64=8². Тогда z1=(10+8)/6=3, z2=(10-8)/6=1/3.
Решаем второе уравнение. Умножив его на 3*z, получаем уравнение 3*z²+3=-2*z, или 3*z²+2*z+3=0. Дискриминант D=(2)²-4*3*3=-32=(i*√32)², где i=√-1. Тогда z3=(-2+i*√32)/6=-1/3+i*√32/6, z4=(-2-i*√32)/6=-1/3-i*√32/6.
9*(z²+1/z²)-24*(z+1/z)-2=0. Положим y=z+1/z, тогда y²=z²+2+1/z², откуда
z²+1/z²=y²-2. Тогда уравнение примет вид 9*(y²-2)-24*y-2=9*y²-24*y-20=0. Дискриминант D=(-24)²-4*9*(-20)=1296=36².Тогда y1=(24+36)/18=10/3, y2=(24-36)/18=-2/3. Таким образом, для нахождения z нужно решить 2 уравнения:
z+1/z=10/3
z+1/z=-2/3
Решаем первое уравнение. Умножив его на 3*z, получаем уравнение 3*z²+3=10*z, или 3*z²-10*z+3=0. Дискриминант D=(-10)²-4*3*3=64=8². Тогда z1=(10+8)/6=3, z2=(10-8)/6=1/3.
Решаем второе уравнение. Умножив его на 3*z, получаем уравнение 3*z²+3=-2*z, или 3*z²+2*z+3=0. Дискриминант D=(2)²-4*3*3=-32=(i*√32)², где i=√-1. Тогда z3=(-2+i*√32)/6=-1/3+i*√32/6, z4=(-2-i*√32)/6=-1/3-i*√32/6.
ответ: z1=3, z2=1/3, z3=-1/3+i*√32/6, z4=-1/3-i*√32/6.