Алгебра: Исследовать функцию и построить ее график

1. - нет вертикальных асимптотфункция нечетная2.наклонных асимптот нетидем влево - график уходит далеко вверхидем вправо - график уходит далеко внизлюбое число3.Точки пересечения с осью ОХ4.__-____+____-__ убывает возрастает - точка минимума - точка максимума5.__+__0__-__ вогнутая выпуклая - точка перегиба7. Дополнительные точкиx | 2 | -2 |y |-6 | 6 |График прилагается...

Исследовать функцию и построить ее график

Ответ:

Riddlemethis

03.10.2020 16:00

1.
$D(f)=\mathbb R$ - нет вертикальных асимптот

$f(-x)=-(-x)^3+(-x)=x^3-x=-(-x^3+x) \Longrightarrow \\\\
f(-x)=-f(x)$
функция нечетная

2.
$k=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{-x^3+x}{x}=\\\\=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{-x^3}{x}+\frac{x}{x}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}(-x^2+1)=-\infty$
наклонных асимптот нет

$k=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}(-x^3+x)=\mp \infty$
идем влево - график уходит далеко вверх
идем вправо - график уходит далеко вниз

$E(f)=\mathbb R$
любое число

3.
$y=f(0)=0^3+0=0\\\\
-x^3+x=0\\
-x(x^2-1)=0\\
x=0\\\\
x^2-1=0\\
x^2=1\\
x=\pm1$

Точки пересечения с осью ОХ

4.
$f(x)=-x^3+x\\
f'(x)=(-x^3+x)'=-3x^2+1\\\\
-3x^2+1=0\\
3x^2=1\\
x^2=\pm \frac{1}{3}\\\\
x_{1/2}=\pm \sqrt{ \frac{1}{3} }$

__-__ $- \sqrt{\frac{1}{3}}$ __+__ $\sqrt{ \frac{1}{3}}$ __-__

$(-\infty; - \sqrt{ \frac{1}{3}})\bigcup( \sqrt{ \frac{1}{3}};\infty)$ убывает

$(-\sqrt{ \frac{1}{3}};\sqrt{ \frac{1}{3}})$ возрастает

$f(-\sqrt{ \frac{1}{3}})=-(-\sqrt{ \frac{1}{3}})^3-\sqrt{ \frac{1}{3}}=- \frac{2}{3\sqrt3}= -\frac{2\sqrt3}{9} \approx-0,4\\\\
f(\sqrt{ \frac{1}{3}})=-(\sqrt{ \frac{1}{3}})^3+\sqrt{ \frac{1}{3}}=\frac{2\sqrt3}{9} \approx0,4$

$f(-\sqrt{ \frac{1}{3}})$ - точка минимума

$f(\sqrt{ \frac{1}{3}})$ - точка максимума

5.
$f''(x)=(-x^3+x)''=-6x\\\\-6x=0\\x=0$

__+__0__-__

$(-\infty;0)$ вогнутая

$(0;+\infty)$ выпуклая

f(0)=0