Найти наименьшее значение выражения (b^4-b^2+1)/(b^2+1) - вопрос №533969042121 от Андрейхоттабыч 10.11.2021 00:36

Question

Алгебра: Найти наименьшее значение выражения (b^4-b^2+1)/(b^2+1)

Андрейхоттабыч · Answer

Легко видеть (просто раскрыв скобки), что
$\frac{b^4-b^2+1}{b^2+1}=\sqrt{3}\left(\frac{b^2+1}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{b^2+1}\right)-3=\sqrt{3}(t+\frac{1}{t})-3,$
где $t=(b^2+1)/\sqrt{3}.$ Т.к. для любого t>0 верно неравенство t+1/t≥2, то наименьшее значение исходного выражения равно 2√3-3. Достигается оно при t=1, т.е при $b=\pm\sqrt{\sqrt{3}-1}.$