Решить тригонометрическое уравнение.

√(1+sinx) - √(1-sinx) =1+cosx ;
ясно, что  1+sinx≥0 ; 1-sinx  ≥0 ; 1+cosx ≥0.
следовательно √(1+sinx) - √(1-sinx)   ≥0.⇔√(1+sinx)  ≥ √(1-sinx) ⇔sinx ≥0.
---
(√(1+sinx) - √(1-sinx))² = (1+cosx)² ;
(1+sinx) -  2√(1+sinx)(1-sinx) + (1-sinx) = 1+2cosx+ cos²x  ;
2 - 2|cosx|  = 1+2cosx+ cos²x ⇔  cos²x  +2cosx +2|cosx| -1 =0 .
Если:
а) cosx< 0⇒cos²x  +2cosx -2cosx -1 =0 ⇔cos²x =1 ⇒ cosx = -1⇒
x = π+2πn , n∈Z .
б) cosx≥ 0⇒cos²x  +4cosx -1 =0 ⇔
[cosx = -2-√5 < -1 (не имеет решения)  ; cosx = -2+√5  =0.
x = arccos(√5-2) +  2πn , n∈Z  (должна быть sinx ≥0 ) .

ответ :   π+2πn  ; arccos(√5-2) +  2πn , n∈Z.
* * * * * * * 
1+sinx =sin²x/2 +2sinx/2*cosx/2 +cos²x/2 =(sinx/2 +cosx/2)²  ;
1-sinx =sin²x/2 -2sinx/2*cosx/2 +cos²x/2 =(sinx/2 -cosx/2)² ;
1+cosx =2cos²x/2 .
√(1+sinx) - √(1-sinx) =1+cosx ⇔|sinx/2 +cosx/2| +|sinx/2 -cosx/2| =2cos²x/2 и 
т.д.