Натуральные числа m и n удовлетворяют условию нод(m, n) = 1. какое наибольшее значение может принимать нод(20m + n, 30n + m)?

Пусть x=20m + n;  y=30n + m и d=НОД(x,y). Надо найти максимально возможное значение d. Т.к. х и у делятся на d, то число 30x-y=30(20m+n)-(30n+m)=599m тоже делится на d. Аналогично, 20у-х=20(30n+m)-(20m+n)=599n делится на d. Т.к. m и n взаимно просты, то d - обязано быть делителем числа 599, т.е. d≤599. При m=29, n=19 получим  30n+m=599 и 20m+n=599, т.е. d=599. Итак, ответ: 599.