Постройте график y= x^2 + x / x^3 + x^2 и определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно 1 общую точку. при сокращении получаем функцию 1/x , а что дальше?

Одна поправка: мы получаем график функции y = 1/x, из которого "выколота" точка и (-1; -1), поскольку выражение (x^3 + x^2)/(x^2 + x) не определено при x = -1 (знаменатель обращается в 0).
Если взять функции y = 1/x и y = kx и изобразить их на чертеже, то получим гиперболу и прямую, проходящую через начало координат. Легко заметить, что графики будут пересекаться в двух точках. Но график нашей функции y = (x^3 + x^2)/(x^2 + x) не содержит точку (-1; -1). Поэтому, график y = kx должен проходить через точку (-1; -1). То есть, y = -x. k = -1.