Допустим, что есть какая-то функция. как определить, при каких значениях k прямая y=kх имеет с графиком ровно одну общую точку?

Чтобы найти точки пересечения функции, например f(x) и g(x)=kx их нужно приравнять.
f(x) = g(x)
f(x) = kx
Потом в зависимости от получившегося уравнения решать его так, чтобы переменная x имела 1 решение. 

Ну такое только с квадратичными функциями: функцию приравниваешь к кх к примеру: х^2+4=kx находишь k через дискриминант: k^2-16=+ и -4 потом несешь значение к в функцию kx : y=4x и -4х