1)sin^2x-16sinx-17=0 2) sin^2x+31cosx+101=0 3) sinx+23cosx=0

1) sin²x-16sinx-17=0
назначим  sinx=t
t²-16t-17=0
D=16²+4*17=256+68=324=18²
t(1)=(16+18)/2=17    ⇒sinx=17  ⇒ x=arcsin17+2πK
t(2)=(16-18)/2=-1      ⇒sinx=-1   ⇒  x=-π/2+2πk            k∈Z

2) sin²x+31cosx+101=0
1-cos²x+31cosx+101=0
cos²x-31cosx-102=0
назначим   cosx=t
t²-31t-102=0
D=31²+4*102=961+408=1369=37²
t(1)=(31+37)/2=68/2=34   ⇒ cosx=34   ⇒  x=arccos34
t(2)=(31-37)/2=-6/2=-3   ⇒  cosx=-34   ⇒  x=arccos(-34)=arccos34

3) sinx+23cosx=0 
уравнения делим на sinx 
получается
sinx/sinx+23cosx/sinx=0
1+23ctgx=0
23ctgx=-1
ctgx=-1/23
x=arcctg(-1/23)=-arcctg1/23