При каких значениях t уравнение 4х^2+2tx+t≥0 не имеет корней

Во-первых -- это неравенство.
во-вторых:
коэффициент при х^2 больше 0, значит функция возрастающая. Как бы мы в зависимости от t не располагали вершину параболы ниже по оси оY, парабола в любом случае будет проходить через I и II квадранты. Значит, это неравенство в любом случае будет иметь решения.

4х^2+2tx+t>=0
D должен быть <0, значит,
D=4t^2-16t<0
4t(t-4)<0
t=0 и t=4
при t принадлежащем (0;4)