logo
Войти Регистрация Спроси ai-bota
В
Все
У
Українська література
Г
Геометрия
Д
Другие предметы
Э
Экономика
Г
География
О
ОБЖ
М
Математика
М
МХК
Х
Химия
Қ
Қазақ тiлi
Л
Литература
У
Українська мова
О
Обществознание
Ф
Физика
А
Английский язык
А
Алгебра
И
История
Б
Беларуская мова
Б
Биология
М
Музыка
П
Право
И
Информатика
П
Психология
В
Видео-ответы
Н
Немецкий язык
Ф
Французский язык
О
Окружающий мир
Р
Русский язык
firuzakushmano
firuzakushmano
24.01.2023 11:22 •  Алгебра

Положительные числа a, b, с таковы, что abc =1. докажите неравенство

Ответ:
Учительнотупой
Учительнотупой
02.10.2020 03:59
 
abc=1\\
\frac{1}{a^3(b+c)} + \frac{1}{b^3(a+c)} + \frac{1}{c^3(b+a)} \geq \frac{3}{2}\\\\
 
После приведения под общим  знаменатель,получим                     
\frac{(ab+ac+bc)(a^3b^3+a^3c^3+a^2b^2c^2+b^3c^3)}{a^3b^3c^3(a+b)(a+c)(b+c)} = \\\\
abc=1\\\\
\frac{(ab+ac+bc)(a^3b^3+a^3c^3+b^3c^3+1)}{ (a+b)(a+c)(b+c)}

  
 Теперь по неравенству о средних получим 
 \frac{a^3b^3+a^3c^3+b^3c^3}{3} \geq \sqrt[3]{a^6b^6c^6}=a^2b^2c^2=1
 то есть a^3b^3+a^3c^3+c^3b^3 \geq 3 с учетом того что a0;b0;c0 
Так же            (a+b)(b+c)(a+c)=a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2+2\\
\frac{a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2}{6} \geq 1\\
a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2 \geq 6 
И включая \frac{(ab+bc+ac)*4}{8} \geq \frac{3}{2}\\
\frac{ab+bc+ac}{2} \geq \frac{3}{2} 
 прихожим к более легкому неравенству 
 ab+bc+ac \geq 3\\
\frac{ab+bc+ac}{3} \geq 1 \\
 \frac{ab+bc+ac}{3} \geq \sqrt[3]{a^2b^2c^2}=1
 
 то есть минимальное значение это \frac{3}{2}
 Что и требовалось  доказать
0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Алгебра
dvortrans
dvortrans
18.03.2021 02:06
29. Разложите на множители квадратный трехчлен:...
annakota2
annakota2
18.03.2021 02:06
8/5*3/4+11/8=? Дайте ответ...
dia49724zyf
dia49724zyf
04.06.2021 12:19
Лодка за одно и тоже время может проплыть 40 км по течению реки и 35км против течения. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч...
Vvyq
Vvyq
25.03.2021 10:47
(2x-2,5)^2 (3х-13)^3 0;...
ввіна
ввіна
20.06.2021 12:05
Найдите значение выражения (2а +b)² 6(b – 2a) - 3b при а=-1, b=-4....
goldwildcat1
goldwildcat1
04.01.2020 04:16
Прямая проходит через точки (-1; 2) и (5; —10). Найдите ее угловой коэффициент....
Черноболь666
Черноболь666
27.09.2021 12:01
1) 5x+48:4=20:10+2.10; 2)7x+32/2=(72+18):3;...
диана2470
диана2470
15.09.2022 20:01
В амфитеатре 11 рядов, в первом ряду 17 мест, а в каждом следующем на 3 места больше чем в предыдущем , сколько всего мест...
димасик138
димасик138
25.04.2020 22:14
Является ли функция прямой пропорциональностью: а) y=4x; б) y=[tex]\frac{x}{4}[/tex]; в) y=-[tex]\frac{x}{4}[/tex]; г) y=0; д) y=[tex]\frac{4}{x}[/tex]; е) y=-4x ?...
Футболист111111
Футболист111111
24.05.2021 16:39
Найти расстояние от точки c до прямой ab a(3; -1) b(11; 3) c(-6; 2)​...
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
О НАС
СООБЩЕСТВО
ПОМОЩЬ
App
.
.
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?