Пойдем от противного. Пусть число √2 рационально. Тогда ∃ m, n ∈ Z\{0} такие, что √2=m/n. Тогда:
2=m²/n² ⇒ 2n²=m²
Квадрат любого целого числа содержит в своем разложении на простые множители четное кол-во двоек. Тогда m² и n² делятся нацело на четное кол-во двоек. Тогда 2n² делится на нечетное кол-во двоек.
Получили, что ненулевые целые числа справа и слева от знака равенства нацело делятся на разное кол-во двоек. Противоречие.
Значит наше предположение неверно, и число √2 иррационально.
Тогда и число -√2 тоже иррационально.
Их сумма равна √2+(-√2)=√2-√2=0 - рациональное число.
Значит при сложении иррациональных чисел может получиться рациональное число.
Да
Пошаговое объяснение:
Сначала докажем иррациональность числа √2.
Пойдем от противного. Пусть число √2 рационально. Тогда ∃ m, n ∈ Z\{0} такие, что √2=m/n. Тогда:
2=m²/n² ⇒ 2n²=m²
Квадрат любого целого числа содержит в своем разложении на простые множители четное кол-во двоек. Тогда m² и n² делятся нацело на четное кол-во двоек. Тогда 2n² делится на нечетное кол-во двоек.
Получили, что ненулевые целые числа справа и слева от знака равенства нацело делятся на разное кол-во двоек. Противоречие.
Значит наше предположение неверно, и число √2 иррационально.
Тогда и число -√2 тоже иррационально.
Их сумма равна √2+(-√2)=√2-√2=0 - рациональное число.
Значит при сложении иррациональных чисел может получиться рациональное число.