Рещит x^3+y^3_> x^2y+xy^2. (x> 0,y> 0)

X^3+y^3-x^2*y-x*y^2>=0
(x+y)*(x^2-xy+y^2) -xy*(x+y)>=0
(x+y)*(x^2-2xy+y^2)>=0
(x+y)*(x-y)^2>=0
Действительно  (x-y)^2>=0  
тк  x>0 и у>0 x+y>0
Но  тогда
(x+y)*(x-y)^2>=0.
То  в силу равносильности преобразований  искомое неравенство  верно.