Розкласти на суму простих дробів x/(x^3-1)

X/(x^3-1)=A/x-1 + (Bx+C)/x^2+x+1=[приводим к общему знаменателю]=Ax^2+Ax+A+Bx^2-Bx+Cx-C
A+B=0
A-B+C=1
A-C=0
выражаем А,B and C
A=1/3
B=-1/3
C=1/3
1/3(x-1)-(x-1)/3(x^2+x+1)-это и есть разложение на сумму простейших дробей

X/(x-1)(x²+x+1)=1/3(x-1) -(x-1)/3(x²+x+1)
A/(x-1) +(Bx+C)/(x²+x+1)
Ax²+Ax+A+Bx²-Bx+Cx-C=x
x²(A+B)+x(A-B+C)+(A-C)=x
A+B=0⇒B=-A
A-B+C=1
A-C=0⇒C=A
A+A+A=1⇒A=1/3⇒B=-1/3 U C=1/3