Доказать, что при любых натуральных m и n число (3m+5n+7)^3 (7m+n+2)^4 делится на 8.

Используя теорию остатков

при любом натуральном n при делении на 6 число 7^n будет давать такой же остаток как и число 1^n=1 т.е единицу в остатке (так как 7=6*1+1) 
 а число 7^n+5 удет давать такой же остаток как чило 1+5=6 т.е. будет давать остаток 0 (так 6 делится на 6 нацело)
а раз остаток 0, то данное число при любом натуральном n делится нацело на 6. Доказано