Что можно узнать о функции y = ax^2 + bx + c по ее внешнему виду? есть ли ещё что-нибудь помимо знака коэффициента "a" в зависимости направления ветвей параболы?

1) По направлению ветвей параболы определяется знак коэффициента а (как вы и написали): при a>0 - ветви параболы вверх, при a<0 - ветви вниз.
2) Ордината точки, в которой парабола пересекает ось Оу - это коэффициент с.
3) Можно определить ось симметрии параболы - это прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси Оу.
4) По графику можно определить нули функции - точки, в которых график пересекает ось Ох.
5) Из координат вершины параболы можно найти коэффициенты a и (определив до этого коэффициент с):


6) Из графика можно найти промежутки возрастания и убывания функции, область определения и область значений функции.