Дана функция f(x) = x^3 - 3x найдите: промежутки возрастания функции точки минимума и значения функции в этих точках наибольшее значение f на отрезке 0; 3

1. Найдем точки пересечения графика функции с осью абсцисс, для чего приравняем нулю значение функции.
F(x)=0; x³-3x=0; x(x²-3)=0 ⇒ x1=0; x2=-√3; x3=√3
Три точки разобьют числовую ось на 4 отрезка; проверим знак F(x) на каждом из них.
-∞ √3 0 √3 +∞
Видно, что функция трижды меняет знак.
2. Найдем первую производную F(x) и приравняем её нулю. Решение полученного уравнения даст точки локальных экстремумов.
F'(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1); F'(x)=0; ⇒ x1=-1, x2=1
3. Найдем вторую производную F''(x) и приравняем её нулю. Найденные корни уравнения дадут точки, где функция имеет перегиб. Вычислив значение F''(x) при х=0 и х=1/3, определим минимум или максимум достигается в точке.
F''(x)=6x-1; F''(x)=0; 6x-1=0 ⇒ x=1/6 - точка перегиба.
F''(-1)=-7 <0 т.е функция в этой точке имеет максимум и выпуклая.
F''(1)=6-1=5 >0, т.е функция имеет минимум и вогнутая.
-∞ -1 1 +∞
   возрастает       убывает            возрастает