1) Первый "особый" случай, который виден сразу: a = 1 (тогда обнуляется старший коэффициент). Подставим a = 1: 9x^2 - 6x = 0 - 2 корня! 2) t = (a - 1)x^2 + 3x t^2 - 2t + (1 - a)(1 + a) = 0 Т. Виета: t1 + t2 = 2; t1 t2 = (1 - a)(1 + a) t = 1 +- a 3) Второй "особый" случай: a = 0 (тогда t1 = t2) t = 1 -x^2 + 3x = 1 x^2 - 3x + 1 = 0 - 2 корня! 4) (a - 1)x^2 + 3x - (1 + a) = 0 или (a - 1)x^2 + 3x - (1 - a) = 0 Первое уравнение: D = 9 + 4(a - 1)(a + 1) = 9 + 4a^2 - 4 = 5 + 4a^2 > 0 - 2 неравных корня есть всегда! Тогда у второго уравнения не должно быть корней, отличных от корней первого уравнения. Пусть y - общий корень этих уравнений, тогда (a - 1)y^2 + 3y = 1 + a = 1 - a, т.е. a = 0, а этот случай уже был рассмотрен ранее. Теперь найдём, когда у второго уравнения нет решений: D = 9 - 4(a - 1)^2 < 0 (a - 1)^2 > 9/4 a - 1 > 3/2 или a - 1 < -3/2 a > 5/2 или a < -1/2
ответ. a ∈ (-infty, -1/2) U {0} U {1} U {5/2, infty}.
Подставим a = 1:
9x^2 - 6x = 0 - 2 корня!
2) t = (a - 1)x^2 + 3x
t^2 - 2t + (1 - a)(1 + a) = 0
Т. Виета: t1 + t2 = 2; t1 t2 = (1 - a)(1 + a)
t = 1 +- a
3) Второй "особый" случай: a = 0 (тогда t1 = t2)
t = 1
-x^2 + 3x = 1
x^2 - 3x + 1 = 0 - 2 корня!
4) (a - 1)x^2 + 3x - (1 + a) = 0 или (a - 1)x^2 + 3x - (1 - a) = 0
Первое уравнение:
D = 9 + 4(a - 1)(a + 1) = 9 + 4a^2 - 4 = 5 + 4a^2 > 0 - 2 неравных корня есть всегда!
Тогда у второго уравнения не должно быть корней, отличных от корней первого уравнения. Пусть y - общий корень этих уравнений, тогда
(a - 1)y^2 + 3y = 1 + a = 1 - a, т.е. a = 0,
а этот случай уже был рассмотрен ранее.
Теперь найдём, когда у второго уравнения нет решений:
D = 9 - 4(a - 1)^2 < 0
(a - 1)^2 > 9/4
a - 1 > 3/2 или a - 1 < -3/2
a > 5/2 или a < -1/2
ответ. a ∈ (-infty, -1/2) U {0} U {1} U {5/2, infty}.