Решить систему уравнений {5x^2+6xy+4y^2=16+4x {sin^2(пх)+sin^2(пу)=0

sin^2(Пх)+sin^2(Пу)=0

Сумма двух квадратов выражений равно 0, тогда и только тогда когда каждое из выражений равно 0, поэтому

sin pi*х=0 pi*x=pi*n x=n где n-целое число

и sin pi*у=0 pi*y=pi*k y=k где к- целое число.

Подставляем найденныe значения x и y в первое урaвнение,получим

5n^2+6*n*k+4*k^2=16+4n

5n^2+6nk+4k^2=16+4n

4k^2+6nk+(9\4)n^2+7\4n^2+n^2-4n+4=20

(2k+3\2n)^2+(n-2)^2+7\4n^2=20

Слагаемые неотрицательне, следовательно уравнение будет иметь решение если каждое из слагаемых не превышает 20

Значит число n лежит в пределах -2 до 3, иначе второе или третье слагаемое будет больше 20

Пусть n=-2 тогда 7\4n^2=7 и (2k+3)^2=-3 невозможно

Пусть n=-1 тогда 7\4n^2=7\4 и (2k+3)^2=9.25 невозможно

Пусть n=0 тогда 7\4n^2=0 и (2k+3)^2=16

2K+3=4  k=1\2

2k+3=-4 k=-7\2 невозможно

Пусть n=1 тогда 7\4n^2=7\4 и (2k+3)^2=17.25 невозможно

Пусть n=2 тогда 7\4n^2=7 и (2k+3)^2=13 невозможно

Пусть n=3 тогда 7\4n^2=63\4 и (2k+3)^2=3.25 невозможно

Таким образом данная система не имеет решений

вроде так*)