В прямоугольной комнате площадью 42 м^2 требуется установить плинтусы по всему периметру. Стоимость 1 м плинтуса составляет 280 тенге. При каких целых линейных размерах комнаты затраты на
покупку плинтуса будут наименьшими?

Для решения этой задачи, нам нужно выразить стоимость покупки плинтуса в зависимости от линейных размеров комнаты, а затем найти значения этих размеров, при которых затраты будут наименьшими.

Пусть длина комнаты равна L, а ширина комнаты равна W.

Периметр комнаты равен P = 2L + 2W.

В задаче сказано, что площадь комнаты равна 42 м^2, поэтому мы можем составить уравнение:

L * W = 42.

Теперь найдем стоимость покупки плинтуса. Общая длина всех сторон комнаты равна периметру P:

P = 2L + 2W.

Мы знаем, что стоимость 1 м плинтуса составляет 280 тенге, поэтому общая стоимость плитнусов будет равна:

C = P * 280.

Мы можем заменить P в этом уравнении, используя выражение для периметра комнаты:

C = (2L + 2W) * 280.

Теперь мы хотим найти значения L и W, при которых затраты на плинтусы будут наименьшими. Для этого необходимо взять производные этого выражения по L и W, и приравнять их к нулю:

dC/dL = 2 * 280 = 0, это означает что L не имеет значения, так как производная константа.

dC/dW = 2 * 280 = 0, это означает что W тоже не имеет значения.

Таким образом, значения линейных размеров комнаты не влияют на затраты на плинтусы, и значит в любом случае будут одинаково минимальными.

Поэтому, мы можем сделать вывод, что затраты на покупку плинтусов будут наименьшими в любой прямоугольной комнате площадью 42 м^2.