Для розв'язання даної системи нерівностей, розглянемо їх окремо.
-5x + 11 > x² Спочатку перепишемо цю нерівність у квадратному рівнянні:
x² + 5x - 11 < 0
Тепер ми можемо знайти корені цього квадратного рівняння, встановити знак нерівності та знайти інтервали, на яких нерівність виконується. Використовуючи формулу дискримінанту, отримуємо:
D = (5)² - 4 * 1 * (-11) = 25 + 44 = 69
Оскільки дискримінант D більше нуля, то рівняння має два різних корені.
-5x + 11 > x²
Спочатку перепишемо цю нерівність у квадратному рівнянні:
x² + 5x - 11 < 0
Тепер ми можемо знайти корені цього квадратного рівняння, встановити знак нерівності та знайти інтервали, на яких нерівність виконується. Використовуючи формулу дискримінанту, отримуємо:
D = (5)² - 4 * 1 * (-11) = 25 + 44 = 69
Оскільки дискримінант D більше нуля, то рівняння має два різних корені.
x₁ = (-5 + √69) / 2 ≈ 1.77
x₂ = (-5 - √69) / 2 ≈ -6.77
Тепер перевіримо значення між цими коренями та поза ними. Для цього можна взяти пробні значення з кожного інтервалу.
Візьмемо x = 0, яке знаходиться між -6.77 і 1.77:
0² + 5 * 0 - 11 < 0
-11 < 0
Отже, рівняння виконується для значень x, що належать проміжку (-6.77, 1.77).
x² ≤ 64
Ця нерівність означає, що квадрат x повинен бути меншим або рівним 64. Для цього знайдемо корені цього квадратного рівняння:
x₁ = √64 = 8
x₂ = -√64 = -8
Таким чином, рівняння виконується для значень x, що належать інтервалу [-8, 8].
Остаточно, розв'язком системи нерівностей є об'єднання інтервалів (-6.77, 1.77) та [-8, 8].