Почему у²+1=0 не имеет корней, а у²-1=0 имеет?

Потому что если перенесем, то:

у²+1=0, у²=-1. Не может быть такого, чтобы число в квадрате давало в результате отрицательное число (не говоря о комплексных числах).

А в случае с у²-1=0, получится у²=1. Тут всё в порядке, получаются ответы 1 и -1.