X^8+x^6−4x^4+x^2+1⩾0 - доказать

Объяснение:

x⁸ + x⁶ - 4x⁴ + x² + 1 = (x⁸ + 2x⁴ + 1) - 6x⁴ + x⁶ + x²  =

= (x⁴ + 1)² + x²(x⁴ + 1) - 6x⁴ =  (x⁴ + 1)² + 3x²(x⁴ + 1) - 2x²(x⁴ + 1) - 6x⁴=

=(x⁴ + 1)(x⁴ + 1 + 3x²) - 2x²(x⁴ + 1 + 3x²) = (x⁴ + 1 + 3x²)(x⁴ + 1 - 2x²) =

= (x⁴ + 1 + 3x²)(x² - 1)² ≥ 0

получили верное неравенство

выражение в первой скобке x⁴ + 1 + 3x² ≥ 1

выражение во второй скобке (x² - 1)² ≥ 0

квадрат любой величины ≥ 0

произведение двух неотрицательных величин ≥ 0

доказано