Дано пирамида АВСD с координатами вершин A(3; -1; 0) B(0; -7; 3) C(-2; 1; -1) D(3; 2; 6) Докажите что прямая АВ перпендикулярна плоскости АDC

Объяснение:

вектор AB = (0-3; -7-(-1); 3-0) = (-3; -6; 3);

вектор AD = (3-3; 2-(-1); 6-0) = (0; 3; 6);

вектор AC = (-2-3; 1-(-1); -1-0) = (-5; 2; -1);

(вектор АВ)*(вектор AD) = (-3; -6; 3)*(0; 3; 6) = -3*0 + (-6)*3 + 3*6 = 0;

То есть векторы AB и AD перпендикулярны, это значит, что

<BAD = 90°.

(вектор AB)*(вектор AC) = (-3; -6; 3)*(-5; 2; -1) = (-3)*(-5) + (-6)*2 + 3*(-1) =

= 15 - 12 - 3 = 15 - 15 = 0;

То есть векторы AB и AC перпендикулярны, а это значит, что

<BAC = 90°.

Таким образом получается, что прямая AB перпендикулярна двум различным прямым AD и AC, которые лежат в плоскости ADC. Поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости получаем, что

AB ⊥ пл. ADC, что означает, что AB перпедикулярна любой прямой, лежащей в плоскости ADC, то есть что искомый угол = 90°.