Сколькими внутри клетчатого прямоугольника ABCD размера 99×100 можно отметить узел клетчатой решётки P (точка на пересечении линий сетки) так, чтобы площади всех четырёх треугольников ABP, BCP, CDP и DAP были равны целым числам?

4802 точки.

Объяснение:

Обозначим углы прямоугольника так, что AB = CD = 100; BC = AD = 99.

Возьмём какую-нибудь точку Р внутри прямоугольника.

Посчитаем площади треугольников:

Sтр = a*h/2

Здесь а - основание, h - высота, то есть расстояние от основания до т. Р.

Чтобы площадь треугольника была целой, или а, или h должно быть чётным.

Для ясности обозначим расстояние от AB до P = H, от AD до P = L.

Тогда расстояние от CD до P = 99-H, а от BC до P = 100-L (подумайте, почему так!)

S(ABP) = AB*H/2 = 100H/2 = 50H

S(CDP) = CD*(99-H)/2 = 100(99-H)/2 = 50(99-H)

Эти две площади целые при любом H, то есть при любом положении т. P.

Значит, в этом пункте нет никаких ограничений на положението́ P.

S(ADP) = AD*L/2 = 99L/2

S(BCP) = BC*(100-L)/2 = 99(100-L)/2

Эти две площади будут целыми, только если L и 100-L - чётные числа.

Подходят ряды на расстоянии 2, 4, 6, ..., 98 от стороны AD.

Рядов (98-2)/2 + 1 = 49, и в каждом по 98 точек.

Всего 49*98 = 4900 - 98 = 4802 точки.