Является ли система векторов зависимой? а1=(1; - вопрос №20514451111022101331 от bbayy 09.06.2022 12:28

Question

Алгебра: Является ли система векторов зависимой? а1=(1; 1-1; 0)а2=(2; 1; 0; 1) а3=(3; 1; 0; 1) а4=(1; 0; 0; 0)

bbayy · Answer

Да, является. Нужно составить определитель 4X4, где вектора будут, скажем, пусть строками. Этот определитель будет равен 0.

$\left[\begin{array}{cccc}1&1&-1&0\\2&1&0&1\\3&1&0&1\\1&0&0&0\end{array}\right]$

Раскладываем по 1-му элементу в четвертой строке. Заметим, что получим определитель с отрицательным знаком. Вычеркиваем 4-ю строку и 1-й столбец.

$-\left[\begin{array}{ccc}1&-1&0\\1&0&1\\1&0&1\end{array}\right]$

Заметим, что 2-е и з-и строки абсолютно совпадают.
А это значит по свойству определителей, что строки являются линейно зависимыми. Значит определитель равен нулю. Из этого вытекает. что четыре исходных вектора являются линейно зависимыми.