Если , то функция называется четной. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси ).
Если , то функция называется нечетной. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
3. Выясняем периодичность функции.
Если при некотором , то функция называется периодической. График периодической функции имеет одну и ту же форму на каждом из отрезков . Поэтому достаточно построить график на каком-нибудь одном таком отрезке и затем воспроизвести полученную кривую на остальных отрезках
4. Находим точки максимума и минимума функции и интервалы возрастания и убывания (интервалы монотонности). Для этого:
вычисляем производную и находим критические точки функции, т.е. точки, в которых или не существует;
определяя знак производной, находим интервалы возрастания и убывания функции: если , то функция возрастает, если , то функция убывает;
если производная меняет знак при переходе через критическую точку , то – точка экстремума: если производная меняет знак с «минуса» на «плюс» – то точка минимума, если же с «плюса» на «минус» – то точка максимума. Если производная сохраняет знак при переходе через критическую точку, то в этой точке экстремума нет.
5. Находим точки перегиба функции и интервалы выпуклости и вогнутости. Для этого:
вычисляем вторую производную и находим точки, принадлежащие области определения функции, в которых или не существует;
определяя знак второй производной, находим интервалы выпуклости и вогнутости: если , то функция выпукла, если , то функция вогнута;
если вторая производная меняет знак при переходе через точку , в которой или не существует, то – точка перегиба.
6. Находим асимптоты функции.
а) Вертикальные: находим односторонние пределы в граничных точках
и/или .
Если хотя бы один из этих пределов бесконечен, то – вертикальная асимптота графика функции .
б) Наклонные: если существуют конечные пределы
и ,
то прямая – наклонная асимптота графика функции (если , ,то – горизонтальная асимптота).
Замечание 1. Асимптоты при и могут быть разными.
Замечание 2. При необходимости можно найти точки пересечения кривой с осями координат и задать дополнительные точки.
7. Строим график функции.
Задача 7. Провести полное исследование функций и построить их графики.
2. Выясняем четность функции.
Если , то функция называется четной. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси ).
Если , то функция называется нечетной. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
3. Выясняем периодичность функции.
Если при некотором , то функция называется периодической. График периодической функции имеет одну и ту же форму на каждом из отрезков . Поэтому достаточно построить график на каком-нибудь одном таком отрезке и затем воспроизвести полученную кривую на остальных отрезках
4. Находим точки максимума и минимума функции и интервалы возрастания и убывания (интервалы монотонности). Для этого:
вычисляем производную и находим критические точки функции, т.е. точки, в которых или не существует;
определяя знак производной, находим интервалы возрастания и убывания функции: если , то функция возрастает, если , то функция убывает;
если производная меняет знак при переходе через критическую точку , то – точка экстремума: если производная меняет знак с «минуса» на «плюс» – то точка минимума, если же с «плюса» на «минус» – то точка максимума. Если производная сохраняет знак при переходе через критическую точку, то в этой точке экстремума нет.
5. Находим точки перегиба функции и интервалы выпуклости и вогнутости. Для этого:
вычисляем вторую производную и находим точки, принадлежащие области определения функции, в которых или не существует;
определяя знак второй производной, находим интервалы выпуклости и вогнутости: если , то функция выпукла, если , то функция вогнута;
если вторая производная меняет знак при переходе через точку , в которой или не существует, то – точка перегиба.
6. Находим асимптоты функции.
а) Вертикальные: находим односторонние пределы в граничных точках
и/или .
Если хотя бы один из этих пределов бесконечен, то – вертикальная асимптота графика функции .
б) Наклонные: если существуют конечные пределы
и ,
то прямая – наклонная асимптота графика функции (если , ,то – горизонтальная асимптота).
Замечание 1. Асимптоты при и могут быть разными.
Замечание 2. При необходимости можно найти точки пересечения кривой с осями координат и задать дополнительные точки.
7. Строим график функции.
Задача 7. Провести полное исследование функций и построить их графики.