Периметр земельного участка в форме прямоугольной трапеции с острым углом в 30⁰ равен 96 м. Найдите наибольшую площадь этого участка

a - большее основание трапеции,

b - меньшее основание трапеции,

h - высота и меньшая боковая сторона трапеции (трапеция прямоугольная)

c - большая боковая сторона трапеции.

sin(30°) = h/c = 1/2,

отсюда c = 2h.

P = a+b+h+c = 24,

c = 2h

a+b+h+2h = 24,

a+b = 24 - 3h,

S = (a+b)*h/2 = (24 - 3h)*h/2 = (12h - 1,5h²),

dS/dh = (12h - 1,5h²)' = 12 - 1,5*2h = 12 - 3h = 3*(4 - h),

Максимум функции S = S(h) в точке h = 4.

Smax = S(4) = 12*4 - 1,5*4² = 48 - 3*2*4 = 48 - 24 = 24.

ответ. 24.