Скільки коренів має залежно від параметра має рівняння

Ответ:

Soechatko

09.09.2021 19:00

Для решения данной задачи можем построить график функции

y=|x^2+2|x-2|-4| , а после найти сколько пересечений имеет данный график с прямой y=a .

Для того график данной функции было проще построить, раскроем модуль |x-2|, имеем.

$y=\left \{ {{|x^2+2x-8| x\geq 2} \atop {|x^2-2x|x$ Изобразим данный два графика, с учетом условий.

1) для построения графика функции y=|x^2+2x-8| нужно сначала построить график функции y=x^2+2x-8 после сделать следующие преобразования: Выше оси абсцисс(и на самой оси) график функции оставить без изменений, ниже оси абсцисс - симметрия относительно оси абсцисс.

Для построения графика y=x^2+2x-8 , нужно найти координаты вершины параболы: $x_0=\frac{-2}{2}=-1; y_0=1-2-8=-9 (-1;-9)$ , найдем корни для того чтобы узнать в каких точках график пересекает оси абсцисс. По теореме Виета x_1=-4;x_2=2 (график построен на картинке 1). Теперь сделаем преобразования которые были описаны выше для того чтобы построить модуль этого графика(рис.2). Далее учтем наше ограничение $x\geq 2$ , имеем(рис.3).

2)для построения графика функции y=|x^2-2x| нужно сначала построить график функции y=x^2-2x после сделать следующие преобразования: Выше оси абсцисс(и на самой оси) график функции y=x^2+2x оставить без изменений, ниже оси абсцисс - симметрия относительно оси абсцисс.

Для построения графика y=x^2-2x , нужно найти координаты вершины параболы: $x_0=\frac{2}{2}=1; y_0=1-2=-1 (1;-1)$ , найдем корни для того чтобы узнать в каких точках график пересекает оси абсцисс. x_1=0;x_2=2 (график построен на картинке 4). Теперь сделаем преобразования которые были описаны выше для того чтобы построить модуль этого графика(рис.5). Далее учтем наше ограничение x< 2 , имеем(рис.6).

Теперь объединим построенные два графика для того чтобы получить график функции y=|x^2+2|x-2|-4| (рис.7).

Графиком функции y=a является прямая совпадающая (при a=0) или параллельная относительно оси абсцисс. Теперь с графика выясним сколько решений имеет уравнение при различных значениях параметра а(рис.8).

Из рисунка видно что: при $a\in(-\infty;0)$ нет корней, при a=0 два корня, при $a\in(0;1)$ четыре корня, при a=1 три корня, при $a\in (1;+\infty)$ два корня