нужна !
Найти натуральное число n при котором выражение имеет наибольшее значение

Question

Алгебра: нужна ! Найти натуральное число n при котором выражение имеет наибольшее значение

bellatrissa21 · Answer

Число , при котором достигается наибольшее значение, должно удовлетворять паре неравенств: $\frac{\left(\sqrt{2021}\right)^n}{n!}\geq \frac{\left(\sqrt{2021}\right)^{n-1}}{(n-1)!}$ и $\frac{\left(\sqrt{2021}\right)^n}{n!}\geq \frac{\left(\sqrt{2021}\right)^{n+1}}{(n+1)!}$ . Из первого неравенства $\sqrt{2021}\geq n$ , из второго $\sqrt{2021}\leq n+1$ , откуда $n\leq \sqrt{2021}\leq n+1$ , следовательно, n=44 .

При этом наибольшее значение существует: сначала показательная функция больше факториала, однако при достаточно больших значениях (а именно при n44 ) факториал перегоняет, и значения выражения уменьшаются.