Задача на Евклидовые пространства(смотреть картинку)

Ортогонализуем данный базис (1,2,3) методом Грама-Шмидта:

1=1 2=2−(2,1)(1,1)⋅1=2−(2,1)(1,1)⋅1=2−231 3=3−(3,1)(1,1)⋅1−(3,2)(2,2)⋅2=3−(3,1)(1,1)⋅1−(3,2−231)(2−231,2−231)⋅(2−231)= =3−13⋅1−(3,2)−23(3,1)(2,2)−43(1,2)+49(1,1)⋅(2−231)= =3−13⋅1−1−23⋅12−43⋅2+49⋅3⋅(2−231)=3−13⋅1−12⋅(2−231)=3−12⋅2

Получаем ортогональный базис (1,2−231,3−122).

Составить матрицу Грама в бази-се (1−2,1+2).

Базис (1,2) - ортонормированный, следовательно, (1,1)=(2,2)=1, (1,2)=0.

Находим матрицу Грама в базисе (1−2,1+2):

=((1−2,1−2)(1−2,1+2)(1+2,1−2)(1+2,1+2))= =((1,1)−2(1,2)+(2,2)(1,1)−(2,2)(1,1)−(2,2)(1,1)+2(1,2)+(2,2))= =(1−2⋅0+11−11−11+2⋅0+1)=(2002)