Доказать что уравнение 15х+40у=17 не имеет целочисленных решений.

15=3*5, 40=2^3*5, наибольший общий делитель 40 и 15 равен 5, а 17 не делится на 5, следовательно, уравнение не разрешимо в целых числах.
//Краткая теоретическая справка.  
Пусть задано уравнение ах+by=c. Уравнение разрешимо в целых числах, если НОД (a,b)=d делит нацело c.