1) Для решения данного неравенства, давайте разобъем его на два неравенства:
logx^2+x (x^2–2x+1) ≤ 1
Сначала рассмотрим левую часть неравенства. У нас есть произведение логарифма и полинома. Мы можем использовать свойство логарифма, что log(a*b) = log(a) + log(b). Применим это свойство:
log(x^2–2x+1) + log(x^2+x) ≤ 1
Теперь мы можем использовать свойство логарифма, что log(a) + log(b) ≤ log(a*b). Применим это свойство:
log((x^2–2x+1)*(x^2+x)) ≤ 1
А теперь мы можем применить свойство логарифма, что log(a) ≤ b эквивалентно свойству a ≤ 10^b. Применим это свойство:
(x^2–2x+1)*(x^2+x) ≤ 10^1
(x^2–2x+1)*(x^2+x) ≤ 10
2) Для решения данного неравенства нам понадобится использовать алгебраические методы. Раскроем скобки в левой части неравенства:
2^х+6×2^-х ≤ 7
2^х + 6/2^х ≤ 7
Заметим, что 2^х и 6/2^х являются сложными степенями числа 2. Используем общее свойство сложения степеней с одинаковым основанием:
(2^х + 6/2^х) * 2^х ≤ 7 * 2^х
2^х * 2^х + 6 ≤ 7 * 2^х
2^(2х) + 6 ≤ 7 * 2^х
Теперь мы можем представить оба слагаемых с одной и той же степенью 2 в виде дроби. Для этого заметим, что (2^х)^2 = 2^(2х):
(2^(2х) + 6)/2^х ≤ 7
2^(2х)/2^х + 6/2^х ≤ 7
2^(2х - х) + 6/2^х ≤ 7
2^х + 6/2^х ≤ 7
Мы получили то же неравенство, которое мы рассмотрели в первой части. Мы можем использовать аналогичные шаги для его решения:
2^х * 2^х + 6 ≤ 7 * 2^х
2^(2х) + 6 ≤ 7 * 2^х
Перенесем все слагаемые на одну сторону неравенства:
2^(2х) - 7 * 2^х + 6 ≤ 0
Теперь заметим, что это квадратное уравнение относительно переменной 2^х. Мы можем решить его путем факторизации.
2^(2х) - 7 * 2^х + 6 = 0
(2^х - 2)(2^х - 3) ≤ 0
Теперь используем таблицу знаков:
| х | 0 < х < log2(2/3) | log2(2/3) < х < log2(2) | х > log2(2) |
|:--------------:|:------------------------------------:|:------------------------------------:|:----------------------------------------------------:|
| (2^х - 2)(2^х - 3) | (2^х - 2), (2^х - 3) имеют одинаковый знак | (2^х - 2) положительный, (2^х - 3) отрицательный | (2^х - 2), (2^х - 3) имеют одинаковый знак |
Мы можем сделать вывод, что (2^х - 2)(2^х - 3) ≤ 0 только в интервале log2(2/3) < х < log2(2).
Таким образом, решением исходного неравенства является:
logx^2+x (x^2–2x+1) ≤ 1 при x ∈ (log2(2/3), log2(2)].
2^х+6×2^-х ≤ 7 при x ∈ (log2(2/3), log2(2)].
logx^2+x (x^2–2x+1) ≤ 1
Сначала рассмотрим левую часть неравенства. У нас есть произведение логарифма и полинома. Мы можем использовать свойство логарифма, что log(a*b) = log(a) + log(b). Применим это свойство:
log(x^2–2x+1) + log(x^2+x) ≤ 1
Теперь мы можем использовать свойство логарифма, что log(a) + log(b) ≤ log(a*b). Применим это свойство:
log((x^2–2x+1)*(x^2+x)) ≤ 1
А теперь мы можем применить свойство логарифма, что log(a) ≤ b эквивалентно свойству a ≤ 10^b. Применим это свойство:
(x^2–2x+1)*(x^2+x) ≤ 10^1
(x^2–2x+1)*(x^2+x) ≤ 10
2) Для решения данного неравенства нам понадобится использовать алгебраические методы. Раскроем скобки в левой части неравенства:
2^х+6×2^-х ≤ 7
2^х + 6/2^х ≤ 7
Заметим, что 2^х и 6/2^х являются сложными степенями числа 2. Используем общее свойство сложения степеней с одинаковым основанием:
(2^х + 6/2^х) * 2^х ≤ 7 * 2^х
2^х * 2^х + 6 ≤ 7 * 2^х
2^(2х) + 6 ≤ 7 * 2^х
Теперь мы можем представить оба слагаемых с одной и той же степенью 2 в виде дроби. Для этого заметим, что (2^х)^2 = 2^(2х):
(2^(2х) + 6)/2^х ≤ 7
2^(2х)/2^х + 6/2^х ≤ 7
2^(2х - х) + 6/2^х ≤ 7
2^х + 6/2^х ≤ 7
Мы получили то же неравенство, которое мы рассмотрели в первой части. Мы можем использовать аналогичные шаги для его решения:
2^х * 2^х + 6 ≤ 7 * 2^х
2^(2х) + 6 ≤ 7 * 2^х
Перенесем все слагаемые на одну сторону неравенства:
2^(2х) - 7 * 2^х + 6 ≤ 0
Теперь заметим, что это квадратное уравнение относительно переменной 2^х. Мы можем решить его путем факторизации.
2^(2х) - 7 * 2^х + 6 = 0
(2^х - 2)(2^х - 3) ≤ 0
Теперь используем таблицу знаков:
| х | 0 < х < log2(2/3) | log2(2/3) < х < log2(2) | х > log2(2) |
|:--------------:|:------------------------------------:|:------------------------------------:|:----------------------------------------------------:|
| (2^х - 2)(2^х - 3) | (2^х - 2), (2^х - 3) имеют одинаковый знак | (2^х - 2) положительный, (2^х - 3) отрицательный | (2^х - 2), (2^х - 3) имеют одинаковый знак |
Мы можем сделать вывод, что (2^х - 2)(2^х - 3) ≤ 0 только в интервале log2(2/3) < х < log2(2).
Таким образом, решением исходного неравенства является:
logx^2+x (x^2–2x+1) ≤ 1 при x ∈ (log2(2/3), log2(2)].
2^х+6×2^-х ≤ 7 при x ∈ (log2(2/3), log2(2)].